Отображение

Отображение [mapping, transforma­tion] — с самой общей точки зрения это правило, по которому элементам одного множества ставятся в соответствие элементы другого множества. Поэтому иногда говорят, что отображение — это кортеж, состоящий из трех элементов: множества определения, множества значений и закона преобразования первого множества во второе.

О. какого-либо множества в множество действительных или комплексных чисел обычно называют функцией, хотя иногда термин «функция» употребляют вообще как синоним слова «О».

Если О. f ставит в соответствие  элементу x ∈ A элемент f (x) ∈ B, то f (x) называют образом x, а x — прообразом f (x). Каждому О. соответствует обратное О. f^-1 (x), ставящее в соответствие каждому образу его прообраз.

Если любому прообразу соответствует единственный образ, то О. называется однозначным; если, кроме того, любому образу соответствует единственный прообраз, то О. называется взаимно однозначным. Например, функция y = x² есть однозначное О. числовой оси на множество положительных чисел, но так как каждому положительному числу y соответствуют два числа ±√y  то эта функция не взаимно однозначная. Пример взаимно однозначной функции: y = x.

В экономике встречаются О., ставящие в соответствие единственному элементу много других. Например, простое бюджетное ограничение (см. Бюджетная линия) записывается так:

x₁p₁ + x₂p₂ = z.

Единственному значению дохода z соответствует в этом случае бесконечное число возможных значений затрат x₁, x₂. Такие О. называют соответствиями,  многозначными функциями или точечно-множественными О.

В экономико-математических исследованиях чаще всего используются О. одного многомерного пространства V в другое, U.

Такие О. называются вектор-функциями, так как элементы каждого из этих пространств — векторы.

Над векторами можно производить определенные действия: векторы можно складывать: a + b и умножать на скаляр: αa. Поэтому очень большую роль играют О., сохраняющие эти операции:

L(a + b) = L(a) + L(b),

L(aa) = αL(a).

Такие О. называются линейными. Их называют также линейными операторами.

Множество элементов из V, образом которых при линейном О. оказывается нуль пространства U, называется яд­ром линейного отображения L и обозначается Ker L.